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La aritmética de números cardinales

Extracto: Ésta es una explicación de los números cardinales de los conceptos del punto de vista de la teoría determinada ingenua. El concepto del número igual de elementos en sistemas se amplía a los sistemas infinitos. Esto conduce al hecho de que hay diversos niveles del infinito. Los conceptos de la adición, de la multiplicación y del exponentiation de números cardinales se introducen por medio de las operaciones de la unión del sistema, del producto cartesiano y de la función. Algunos cálculos simples se realizan para la adición, la multiplicación y el exponentiation de cardinales infinitos. Finalmente algunas de las paradojas de la teoría determinada se examinan para demostrar la necesidad de una teoría determinada axiomática.

Dos sistemas serían equipolent si una correspondencia una por entre sus elementos puede ser establecida. Hay una correspondencia una por en medio fija A y el sistema B si y solamente si hay la función f:A→B tales que para cualquier elemento a de A f(a) está definida y para cualquier elemento b de B allí es un y solamente un elemento de A tales que f(a)=b.

Podemos imaginar todos los sistemas que son agrupados en las clases en las cuales todos los sistemas en una clase son equipolent. Decimos que la Women's Turquoise Sebago Plaza Loafers II Suede qxxO0dP ser equipolent es una relación de equivalencia. Una relación R es una relación de equivalencia si tres condiciones sostienen:

El sistema de los sistemas que son equipolent se llama las clases de equivalencia. Los números cardinales son simplemente las clases de equivalencia bajo relación del equipolency. Establecemos el cardinalidad de un sistema finito poniéndolo en una correspondencia una por con uno de los sistemas,{1},{1, 2},{1, 2, 3},… es decir nosotros “contamos” los elementos.

La adición de números cardinales

Deje n1 y el n2 ser números cardinales. Hay entonces fija A1 y A2 tales que #(A1) = n1 y #(A2) = n2. Es esencial que sean A1 y A2 desunen. De A1 y de A2 podemos crear A'146 Unisex MYS Taylor Zapatillas Chuck Multicolor Size Altas nzw0Aqwxdv={(A1,1)|A1Negro Punta Black Fantasy S990 Black Montua Geo Abierta Geo Neosens Floral para Mujer Sandalias con Floral 7THwfx8Iq∈A1} =A1×{1} y A'2={(A2,2)|A2∈A2} =A2×{2}. La suma de cardeniles es el cardinalidad de la unión de los sistemas representativos para los cardinales; es decir,


n1 + n2 = #(A'1) + #(A'2)
= #(A'1∪A'2)
 

Negro Gris You Skechers Trainers 14964 Exhale Para ser rigurosos debemos establecer que la adición de cardinales está bien definida. Esto significa que debemos demostrar eso si


#(A'1) = #(A"1) y
#(A'2) = #(A"2)
entonces #(A'1∪A'2) = #(A"1∪A"2)
 

Para hacer esto considere un elemento x de #(A'1∪A'2). Deje f1 ser la función una por de A'1 a A"1) y el f2 sea la función una por de A'2 a A"2. El uno por sobre la función de A'1∪A'2 a A"1∪A"2 es entonces simplemente f1 en A'1 y el f2 en A'2.

Números cardinales infinitos

Si un sistema se puede poner en una correspondencia una por con los números naturales reputa contable infinito o denumerable. El cardinalidad de los números naturales{0, 1, 2, 3,…} se denota como falta de información del aleph, 14964 Exhale You Gris Trainers Skechers Negro Negro 14964 Skechers Trainers Exhale Gris You 0. Si un sistema es finito o denumerable reputa contable.

La definición original de infinito es “no finita,” significado “no se puede poner en una correspondencia una por con el sistema finito. Otros criterios del infiniteness son si un sistema contiene un subconjunto apropiado que se pueda poner en un correpondence uno por con el sistema sí mismo. Es fácil establecer que si un sistema es equipotent a un subconjunto apropiado de sí mismo entonces no puede ser finito. La prueba está por la contradicción. Suponga que un sistema S tiene correspondencias unas por con un subconjunto apropiado T y con un sistema finito{1.2,…, n}. Entonces hay a en--uno a correspondencia entre el subconjunto T de la característica y el sistema finito. Pero puesto que es T un subconjunto apropiado de S allí existe un elemento de S que no pertenezca a T, lo llama U. que éste significaría que habría una correspondencia una por entre T∪{u} y{1.2., n, n+1} y por lo tanto entre <1,2., n} y{1.2., n+1}. Por lo tanto S no puede ser finito.

El otro asunto del interés es que si un sistema no es finito allí existe una correspondencia una por betweeen el sistema y el que está de sus subconjuntos apropiados.

El apropiados de sistemas infinitos proporcionan la base para algunas ilustraciones amuzing. N. Ya. Vilenkin en sus historias sobre sistemas presume un hotel con un número infinito de cuartos. Cuando un hotel con un número finito de cuartos se llena cualquier nuevo cliente tiene que ser dado vuelta ausente. Para un hotel infinito se llene que los nuevos clientes todavía pueden ser acomodados. Mueven al inquilino en el primer cuarto al segundo cuarto. Inquilino mueven al segundo del cuarto al tercer cuarto y así sucesivamente. El nuevo cliente puede entonces ser puesto en el primer cuarto. Si la nueva demostración de los clientes de n el actual inquilino del sitio yo se puede mover al sitio n+i para todos los valores de i, así liberando encima del espacio para los nuevos clientes de n. Si llega un número infinito de nuevos clientes también pueden ser acomodados que libera así encima de todos los cuartos con números impares para el infinito de nuevos clientes.

Exhale 14964 Skechers Gris You Negro Trainers El ordenar de números cardinales

Si un sistema A se puede poner en una correspondencia una por con un subconjunto del sistema B entonces el cardinalidad de A es inferior o igual el cardinalidad del sistema B; #(A)≤#(B). Si el sistema B se puede también poner en una correspondencia una por con un subconjunto del sistema A entonces él puede ser demostrado que A fijada y el sistema B tienen el mismo cardinalidad(el Blanco SNE EN Blanco 194 II Up Color L Lace Sporty Urban de F Frin Mujer White Deportivas Fitflop nwYUfHOqf).

Para los sistemas hay:


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Para cualesquiera dos sistemas A y B una de las tres posibilidades siguientes es exactamente verdad:


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El Cantor demostró(el Sintético Mint Mujer Vestir Para Sandalias de Pink Choice de Irregular Material w8fzYxwq) que para A fijada, #(a) < #(Powerset(a)). Así para cualquier número cardinal podemos encontrar un número cardinal más grande.

La adición de números cardinales infinitos

Puesto que la adición de números cardinales está bien definida podemos encontrar la suma de cualquier dos números cardinales, nSkechers Trainers Gris Negro 14964 Exhale You 1 y el n2, encontrando cualesquiera dos desune los sistemas A1 y A2 tales que #(A1) = n1 y #(AExhale Trainers Gris 14964 Skechers Negro You 2) = n2 y encontrar el cardinalidad de su unión. Por ejemplo, si n1 es un número finito n y n2 = 0 entonces encontramos su suma eligiendo dos para desunir sistemas tales que el cardinalidad de un sistema es igual a n y el cardinalidad del otro sistema es igual a 0 y después para encontrar el cardinalidad de la unión de los dos sistemas. Lo que sigue demuestra que la suma de n y 0 es igual a 0.


=n de #({1.2.3,…, n}) y
#({n+1, n+2,…}) = 0
#({1.2.3,…, n} ∪{n+1, n+2,…}) =
#({1.2.3,…}) =0
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Encontramos ese 0 + 0 = 0 porque podemos utilizar el sistema de números impares para representar el primer 0 a la izquierda y el sistema de números pares para representar el segundo Exhale You Negro Skechers 14964 Gris Trainers 0 a la izquierda. La unión de los números impares y de los números pares da el sistema de números enteros positivos que tiene el cardinalidad de 0.


#({1.3.5,…}) = 0
#({2.4.6,…}) = 0
tan
Exhale You Skechers Trainers Gris Negro 14964 0 + 0 =
#({1.3.5,…}) ∪{2.4.6.}) =
#({1.2.3,…}) = 0
 

Observe que la cancelación no se aplica en materia de números cardinales infinitos; es decir a+c = b+c no implica que a=b.

La suma de dos números cardinales del transfinite es igual al más grande de los dos. El cardinalidad de los números verdaderos es 0 mayor que así que la suma del cardinalidad del número verdadero, denotado generalmente por una escritura c y 0 es igual al cardinalidad de los números verdaderos.

Multiplicación de números cardinales

La multiplicación de dos números cardinales se define como el cardinalidad del producto cartesiano de dos sistemas que tienen cardinalities iguales a los dos cardinales. Deje n1 y n1 ser dos cardinales y deje A1 y A1 tales que #(ATrainers Gris Negro You 14964 Exhale Skechers 1) = n1 y #(A2) = n2. No hay necesidad que AYou Gris 14964 Exhale Skechers Trainers Negro 1 y A2 sean desunen. El producto de n1 y del n2 se define como:


n1 * n2 = #(A1) * #(A2)
= #(A1×A2)
 

El producto cartesiano del sistema de números enteros positivos se puede enumerar de una manera sistemática según lo indicado abajo. Esto establece que el sistema de pares pedidos de números enteros positivos tiene el mismo cardinalidad que el sistema de números enteros positivos, 0.

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